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采样混叠和车轮效应

2017-03-18 浏览: 4353

大多数采集数字信号的人们已经听说或者已经理解了为了避免混叠,采样频率和能观察到的最高频率之间的关系。对于那些可能不熟悉混叠现象的人来说,下面的说明将有助于解释这个现象。

大多数人都知道采样频率与混叠的关系,这通常意味着在他们处理等时间采样,数字化的幅值是以相同的时间增量测量得到时,就已经意识到这个关系了。而处理与阶次相关的关系时,人们却不那么熟练。阶次是轴转速的倍数,比如二阶是轴当前转速的严格二倍。接下来我们将考虑为了防止混叠,旋转轴的采样速率与最高阶次的关系。

这个关系依赖我们以何种方式进行采样,因为我们可以等时间采样,或者等角度采样。我们将考虑这两种采样形式,但首先让我们回想一下,为了避免混叠,常规的等时间采样与最高能观测到的频率之间的关系,这个关系称为香农定理。


常规的混叠

对于常规的基于时间的采样通常采用相同的时间步长,我们称之为采样速率(也称为采样频率)S,单位为样本点数/秒。此时,对应的数字化时间间隔为1/S。出于方便,我们将这个时间增量用Δt表示,因此Δt=1/S秒。

对于常规的时域信号处理,我们知道时间与频率的关系,也就是如果我们对一个时域信号进行傅立叶变换,那么将得到其相对应的频谱。

香农定理表明,如果采样速率为S,在不引起混叠的情况下,能观测到的最高频率为(S/2)Hz。(S/2)称为乃奎斯特(Nyquist)频率。在这提及的混叠含义和混叠得到的结果在接下来的有说明。

因此,如果时间步长为Δt,那么能观测到的最高频率fmax定义如下

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这是时间步长(用秒表示)与最高频率(用Hz表示)的关系。这个频率并不是我们原先指定的频率单位“周期数/秒”,而是Hz的基本单位1/秒。


基于时间采样的最高阶次

首先回想一下,阶次是轴转速的倍数。因此,如果一根轴以R
rpm(转/分钟),那么第N阶次相应于转速为(N*R)rpm。因此,如果轴的转速为1000rpm,那么第二阶次是2000rpm,但是如果轴的转速为1500rpm,那么第二阶次对应的转速为3000rpm。阶次独立于轴的实际转速,他们是当前轴转速的倍数或者分数。


阶次与频率的关系,假设转速为R rpm,那么

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将这个关系代入到基于时间的关系式中,为了防止混叠,可以发现


K*(R/60)=S/2


那么,当使用以一定的速率S(采样点数/秒)基于时间采样时,最高阶Kmax为

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等角度采样或同步采样

对于等角度采样,我们考虑每转采集N个点,通常使用齿轮盘或者类似的结构,每转给定N个齿。这个采样过程同样独立于实际轴的转速。因此,我们的采样速率是每转N个样本点(或数据点)。

对于等角度采样,与“转速”域相对应的是阶次域。也就是说如果我们对等角度采样的数据进行傅立叶变换,那么将得到阶次谱。

直接应用香农定理,我们得到简化的结果,也就是当我们以每圈采集N个点进行采样时,在不引起混叠的情况下能得到的最高阶次Omax为

Omax=N/2

顺便提及一下,如果我们用傅立叶分析一个精确的转动圈数P,那么得到的阶次间距是1/P阶。


空间采样


如果我们在空间上以等距离进行采样,那么相应的域是波数(K=2π/λ,K为波数,λ为波长,波长为空间上相邻两波峰或波谷之间的距离,这里的波长不同于声波的波长),这跟时间上的采样是完全一样的应用。因此,如果我们在公路表面以每米L个点进行空间上的采样,那么在不引起混叠的情况下,我们能观测到的最高波数ωmax为 

ωmax=L/2

当我们在进行模态测试分析时,MAC矩阵非对角元素很大的一种可能情况就是空间混叠。也就是说,模态测试时,测点数太少,不足以区分两阶或两阶以上的模态振型,导致了空间上的混叠。因此,在模态测试中,波长是指模态振型中相邻两个波峰或波谷之间的距离。



混叠演示

用于演示混叠现象的经典例子之一是所谓的“车轮效应”。在影片里当马车越走越快时,马车车轮似乎越走越慢,然后甚至朝反方向运转。如果你想看一个可视的车轮效应演示案例,可以点击下面的链接。

刚开始轮辐逆时针运转,然后逐渐变慢并开始顺时针运转。这个例子用于描述混叠现象是特别适合的。移动小三角‘标识’可用于区分“非混叠”区域。因此,人们可以看到车轮旋转部分和其他不动的部分,这样是最让人印象深刻和使人信服的。三角滑块可手动控制车轮转速。

Wagon-wheeleffect from Michael’s “Optical Illusions & Visual Phenomena”(http://www.michaelbach.de/ot/mot_wagonWheel/index.html)


另外一个好的混叠例子是转动的吊扇,小时候都见过家中的吊扇,当转速越来越快时,出现的现象是先顺时针旋转,然后静止,然后逆时针旋转。这是因为人眼在看物体时,人眼也有一定的采样速率。当人眼的采样速率跟不上越来越快的转速时,就会出现混叠现象。静止不动时的转速对应的频率就是人眼采样的速率。

另一个解释混叠的常见形式是展示一个高频正弦波用低的采样速率进行采样得到的结果。如果采样频率太低,我们将看不到图中的红色波形,而只能采集到图中的蓝色点,这些点已经混叠成了一个更低频的信号。

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文章来源:模态空间

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